Summer School

برنامه‌ی مدرسه‌‌ی تابستانی سال ۱۳۹۷

آشنایی با دستگاه‌های پویا

میثم نصیری (پژوهشگاه دانش‌های بنیادی)

شاخه‌ای از ریاضیات به نام دستگاه‌های پویا (دینامیکی) که ریشه در نگرش پوانکاره در بررسی کیفی جواب‌های معادلات دیفرانسیل دارد، در یکصد سال گذشته شاهد تحولات بسیار و تعاملات عمیقی با شاخه‌های متنوعی در ریاضی و علوم بوده است. در این درس کوتاه با بررسی مثال‌های گوناگون با مبانی و پویایی این بخش زیبای ریاضیات آشنا می‌شویم. همسانریختی‌های دایره‏، نگاشت‌های خطی روی چنبره‌ی دو بعدی‏، خانواده چندجمله‌ای‌های درجه دو روی خط حقیقی یا صفحه‌ی مختلط‏، بیلیارد در یک چندضلعی محدب‏، مسئله‌ی n‎‏-‎ ‎‏جسم‏ و نعل اسب اسمیل از جمله این مثال‌ها هستند.

پیش نیاز:

آشنایی قبلی با مفاهیم پایه‌ای آنالیز‏، حسابان و توپولوژی عمومی برای فهم بهتر‎ درس سودمند هستند.

  • جلسه اول: آشنایی اولیه با دستگاه‌های پویا و ارائه‌ تعدادی مثال ساده
  • جلسه دوم: رفتار نگاشت‌ها روی خط حقیقی
  • جلسه سوم: نگاشت‌های روی بازه و قضیه Sharkovsky
  • جلسه چهارم: همسان‌ریختی‌های دایره و عدد چرخشی
  • جلسه پنجم: همسان‌ریختی‌های دایره و قضیه Denjoy
  • جلسه ششم: رفتار نگاشت‌های خطی روی صفحه و چنبره
  • جلسه هفتم: دستگاه‌های هذلولوی
  • جلسه هشتم: دستگاه‌های نمادی
  • جلسه نهم: دستگاه‌های زمان پیوسته
  • جلسه دهم: ارتباط دستگاه‌های پویا با شاخه‌های دیگر

 

نظریه‌ی جبری اعداد

امیرقادرمرزی (دانشگاه تهران)

رضا طالب (دانشگاه شهید بهشتی)

نظریه‌ی ﺟﺒﺮی اﻋﺪاد از ﻣﻬﻢﺗﺮﯾﻦ ﺷﺎﺧﻪﻫﺎی ﻧﻈﺮﯾﻪ اﻋﺪاد اﺳﺖ. اﯾﻦ ﺷﺎﺧﻪ را ﻣﯽﺗﻮان ﻣﻄﺎﻟﻌﻪی ﺳﺎﺧﺘﺎرﻫﺎی ﺟﺒﺮی واﺑﺴﺘﻪ ﺑﻪ اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ، اﻋﺪاد ﺟﺒﺮی و ﺗﻌﻤﯿﻢﻫﺎی آن داﻧﺴﺖ. ﺧﺎﺳﺘﮕﺎه اوﻟﯿﻪی ﻧﻈﺮﯾﻪ ﺟﺒﺮی اﻋﺪاد را ﻣﯽﺗﻮان در ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻮﻓﺎﻧﺘﯽ ﯾﺎﻓﺖ. اﯾﺪهي ﮐﻼﺳﯿﮏ ﺗﺠﺰﯾﻪی ﭼﻨﺪﺟﻤﻠﻪای در ﺣﻠﻘﻪی [ℤ [x و اﺳﺘﻔﺎده از ﯾﮑﺘﺎﯾﯽ ﺗﺠﺰﯾﻪ در اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ را ﻣﯽﺗﻮان ﺑﻪ ﻣﯿﺪانﻫﺎی ﻋﺪدی و ﺣﻠﻘﻪی اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﺟﺒﺮی آنﻫﺎ (ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﻣﻔﻬﻮم ﻋﺪد ﺻﺤﯿﺢ در ﻣﯿﺪان ﻋﺪدی) ﺗﻌﻤﯿﻢ داد. ﻣﺸﮑﻞ اﺻﻠﯽ در اﯾﻦ ﺟﺎﺳﺖ ﮐﻪ ﺣﻠﻘﻪی اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﺟﺒﺮی ﻣﯿﺪانﻫﺎی ﻋﺪدی ﻟﺰوﻣ ﺎً دارای وﯾﮋﮔﯽ ﯾﮑﺘﺎﯾﯽ ﺗﺠﺰﯾﻪ ﻧﯿﺴﺖ. در اﯾﻦ درس راهﻫﺎی ﻣﻮاﺟﻬﻪ ﺑﺎ اﯾﻦ ﻣﺸﮑﻞ ﺑﺮرﺳﯽ ﻣﯽﺷﻮد. ﺑﻪ ﺑﺮرﺳﯽ اﯾﻦ ﺳﺆال ﻣﯽﭘﺮدازﯾﻢ ﮐﻪ ﯾﮏ ﻣﯿﺪان ﻋﺪدی ﭼﻪ ﻣﯿﺰان ﺑﺎ ﯾﮑﺘﺎﯾﯽ ﺗﺠﺰﯾﻪ ﻓﺎﺻﻠﻪ دارد. ﺗﮑﻨﯿﮏﻫﺎی ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﯽ ﻫﻨﺪﺳﻪ اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ را ﻣﻄﺎﻟﻌﻪ ﻣﯽﮐﻨﯿﻢ و ﺑﻪ ﺑﺮﺧﯽ ﮐﺎرﺑﺮدﻫﺎی ﻧﻈﺮﯾﻪی ﺟﺒﺮی اﻋﺪاد در ﺣﻞ ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻮﻓﺎﻧﺘﯽ ﻣﯽﭘﺮدازﯾﻢ.

پیش‌نیاز:

در اﯾﻦ درس ﺳﻌﯽ ﺑﺮ آن اﺳﺖ ﺗﺎ از ﭘﯿﺶﻧﯿﺎزﻫﺎي ﻣﺮﺳﻮم ﺑﺮاي درسﻫﺎي ﻣﺸﺎﺑﻪ اﺟﺘﻨﺎب ﺷﻮد. آﺷﻨﺎﯾﯽ ﺑﺎ ﻣﻮارد زﯾﺮ ﮐﺎﻓﯽ اﺳﺖ:

  • ﺟﺒﺮ (ﻧﻈﺮﯾﻪ ﮔﺮوه ﻫﺎ، ﺣﻠﻘﻪ، اﯾﺪه آل). آﺷﻨﺎﯾﯽ ﺑﺎ ﻧﻈﺮﯾﻪی ﮔﺎﻟﻮا ﻣﯽ ﺗﻮاﻧﺪ در درك ﻋﻤﯿﻖﺗﺮ ﻣﺒﺎﺣﺚ مفید باشد.
  • آﺷﻨﺎﯾﯽ ﻣﺨﺘﺼﺮ ﺑﺎ ﻧﻈﺮﯾﻪ ﻣﻘﺪﻣﺎﺗﯽ اﻋﺪاد (رﯾﺸﻪی اوﻟﯿﻪ ، ﺗﻘﺎﺑﻞ ﻣﺮﺑﻌﯽ)
  • آﺷﻨﺎﯾﯽ ﺑﺎ ﺟﺒﺮ ﺧﻄﯽ ( ﻓﻀﺎي ﺑﺮداری و ﻧﮕﺎﺷﺖ ﺧﻄﯽ)
  • جلسه‌ی اول: ﻣﻘﺪﻣﺎت (ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻮﻓﺎﻧﺘﯽ ، ﻣﯿﺪان اﻋﺪاد ﺟﺒﺮی، ﻣﻔﻬﻮم ﺻﺤﯿﺢ ﺑﻮدن روی ﺣﻠﻘﻪ ، ﺣﻠﻘﻪی اعداد صحیح جبری)
  • جلسه‌ی دوم: ﻣﻔﺎﻫﯿﻢ ﻣﺮﺗﺒﻂ ﺑﺎ ﻣﯿﺪان ﻋﺪدی (ﻧﺸﺎﻧﺪن، ﻣﺒﯿﻦ، اﺛﺮ،ﻧﺮم و ﭘﺎﯾﻪی ﺻﺤﯿﺢ)
  • جلسه‌ی سوم: ﯾﺎﻓﺘﻦ ﭘﺎﯾﻪی ﺻﺤﯿﺢ ﺑﺮای ﻣﯿﺪانﻫﺎی ﻋﺪدی
  • جلسه‌ی چهارم: ﯾﮑﺘﺎﯾﯽ ﺗﺠﺰﯾﻪ در اﯾﺪهآل ﻫﺎی ﺣﻠﻘﻪی اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﺟﺒﺮی ﻣﯿﺪانﻫﺎی ﻋﺪدی (۱)
  • جلسه‌ی پنجم: ﯾﮑﺘﺎﯾﯽ ﺗﺠﺰﯾﻪ در اﯾﺪهآل ﻫﺎی ﺣﻠﻘﻪی اﻋﺪاد ﺻﺤﯿﺢ ﺟﺒﺮی ﻣﯿﺪانﻫﺎی ﻋﺪدی (۲) ، آﺷﻨﺎﯾﯽ ﺑﺎ ﺣﻠﻘﻪﻫﺎی ددﮐﯿﻨﺪ، ﮔﺮوه رده‌ای و ﻋﺪد رده‌ای
  • جلسه‌ی ششم: ﻗﻀﯿﻪی ددﮐﯿﻨﺪ ﮐﻮﻣﺮ(ﺗﺠﺰﯾﻪی اﻋﺪاد اول ﮔﻮﯾﺎ در ﻣﯿﺪانﻫﺎی ﻋﺪدی)
  • جلسه‌ی هفتم: ﻫﻨﺪﺳﻪی اﻋﺪاد، ﻗﻀﯿﻪی ﻣﯿﻨﮑﻮﻓﺴﮑﯽ و ﺑﺮﺧﯽ ﻧﺘﺎﯾﺞ آن
  • جلسه‌ی هشتم: اﺛﺒﺎت ﻣﺘﻨﺎﻫﯽ ﺑﻮدن ﻋﺪد رده‌ای، ﺛﺎﺑت ﻣﯾﻧﮑوﻓﺳﮑﯽ
  • جلسه‌ی نهم: ﻣﺤﺎﺳﺒﻪی ﻋﺪد ردهای، ﻗﻀﯿﻪی ﯾﮑﻪﻫﺎی دﯾﺮﯾﺸﻠﻪ
  • جلسه‌ی دهم: ﻣﻌﺎدﻻت دﯾﻮﻓﺎﻧﺘﯽ ، ﺧﻢ ﻣﻮردل ، ﻣﻌﺎدﻻت ﻧﺮم و...

 

ثبت‌نام

دانشجویان علاقه‌مند دوره کارشناسی می‌توانند در مدرسه تابستانی ریاضیات ثبت‌نام کنند.

برای ثبت‌نام:

۱) فرم ثبت‌نام را تکمیل کرده و به همراه کارنامه‌ی خود در یک رایانامه با عنوان نام خانودگی‌تان به نشانی iranmathschool@gmail.com ارسال کنید.

۲) حداقل یک توصیه‌نامه توسط اساتیدتان با عنوان نام خانوادگی شما به نشانی iranmathschool@gmail.com ارسال کنید.

هزینه‌ی ثبت‌نام: ۲۰۰۰۰۰۰ ریال (واریز پس از اعلام موافقت کمیته برگزاری)

کمیته‌ی علمی:

  • اسماعیل اسدی (دانشگاه تحصیلات تکمیلی زنجان)
  • ایمان افتخاری (پژوهشگاه دانش‌های بنیادی)
  • رشید زارع‌ نهندی (دانشگاه تحصیلات تکمیلی زنجان)
  • کسری علیشاهی (دانشگاه صنعتی شریف)
  • مرتضی فتوحی (دانشگاه صنعتی شریف)
  • مجتبی قیراطی (دانشگاه یاسوج)
  • میثم میثمی صدر (دانشگاه تحصیلات تکمیلی زنجان) 
  • میثم نصیری (پژوهشگاه دانش‌های بنیادی)
  • امید نقشینه ارجمند (دانشگاه صنعتی امیرکبیر)